Главная » Курсовые » Численные методы

Лабараторная работа 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Цель работы: изучение численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, практическое решение систем на ЭВМ.

Описание метода Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры.

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

На 1-м шаге метода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого.

Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, …, qn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

            a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

                        a33x3 + … + a3nxn = b3

          ………………………………………

                                            annxn = bn

 

Матрица A является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn–1, xn–2, …, x1.

Вычисление точностной оценки по координатам производится по следующей формуле:

 QUOTE   ,

где i = 1,…, n; xi – координаты решения по методу Гаусса; xi* - координаты точного решения.

Блок-схема алгоритма программы решения СЛАУ методом Гаусса.

При запуске программы требуется ввод матрицы коэффициентов, вектора столбца свободных членов и координат точного решения.

Алгоритм нахождения координаты решения по методу Гаусса заключается в следующем:

  1. Находим главный элемент по всей матрице (Max).
  2. Меняем первый столбец и столбец, в котором находится главный элемент. Меняем первую строку и строку, в которой находится главный элемент.
  3. Приводим матрицу коэффициентов к треугольному виду.
  4. Осуществляем обратный ход и находим координаты решения по методу Гаусса.

Алгоритм вычисление точностной оценки по координатам заключается в нахождении абсолютных величин разности между координатами решения по методу Гаусса и координатами точного решения, и нахождению максимума из этих значений.

 

Точность:  0,00290772

 

 

potenzmittel cialis billig kaufen viagra generika barcelona buy generic viagra canada online
potenzmittel cialis billig kaufen viagra generika barcelona buy generic viagra canada online