• Курсовые
• Контрольные
• Статьи
• Конспекты
• Методички
• Веб-блог

Главная » Курсовые » Численные методы

Лабараторная работа 6. Численное решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: изучение разностных методов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ.

Описание метода конечных разностей для решения дифференциального уравнения с указанными краевыми условиями.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными краевыми условиями.

где p(x), q(x), f(x) - непрерывны на отрезке [a,b]. Один из самых простых способов решения задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого необходимо разбить отрезок [a,b] на n равных частей длины h, где h=(b-a)/n. Точками разбиения абсциссы будут x_i=x₀+ih, где x₀=a, x_n=b.

Значение функции y(x) в точках x_i и ее производных обозначим соответственно y(x_i)=y_i, y'(x_i)=y'_i, y''(x_i)=y''_i.

Введем следующие обозначения: p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), f_i=f(x_i).

Заменим производные центрально-разностными отношениями. Для внутренних точек отрезка [a,b], будем иметь:

y'_i= (y_i+1-y_i-1)/2h;

y"i=(y_i+1-2y_i+y_i-1)/h² ; i=1,2,..n-1.

Можно представить краевую задачу в виде:

(y_i+1-2y_i+y_i-1) / h² +p_i((y_i+1-y_i) / 2h)+q_iy_i=f_i,   где i=1,...,n-1;

α₁y₀+ α₂ ((y₁-y₀) / h) = A;

β₁y_n+ β₂ ((y_n-y_n-1) / h) = B.

Таким образом, получили систему n+1 линейных уравнений с n+1 неизвестными y₀, y₁,...,y_n, решение которой позволяют найти значение искомой функции y(x) в точках x₀, x₁...,x_n.

Система является трех диагональной и для ее решения используется метод прогонки. В ходе прямого хода определяем прогоночные коэффициенты α_k и β_k. В ходе обратного хода определяем все неизвестные последовательно, начиная с y_n.

Блок-схема алгоритма программы решения краевой задачи методом прогонки.

При запуске программы требуется ввод дифференциального уравнения, краевых условий, интервала.

Алгоритм вычисления значений функции заключается в следующем:

1. Находим значения прогоночных коэффициентов:

a[1]:=- StrToFloat(StringGrid2.Cells[1,0])/StrToFloat(StringGrid2.Cells[0,0]));

b[1] := StrToFloat(StringGrid2.Cells[6,0])/StrToFloat(StringGrid2.Cells[0,0]);

a[i] := - (StrToFloat(StringGrid2.Cells[i,i-1])/(StrToFloat(StringGrid2.Cells[i-1,i-1])+StrToFloat(StringGrid2.Cells[i-2,i-1])*a[i-1]));

b[i] := (StrToFloat(StringGrid2.Cells[6,i-1])-StrToFloat(StringGrid2.Cells[i-2,i-1])*b[i-1])/(StrToFloat(StringGrid2.Cells[i-1,i-1])+StrToFloat(StringGrid2.Cells[i-2,i-1])*a[i-1]);

1. Определяем значения неизвестных y[i]:

y[n] := a[n]*y[n+1] + b[n];

Вариант 10.

Дано:

 QUOTE    – дифференциальное уравнение

 QUOTE   ;  QUOTE    – краевые условия

[0;0.5] – интервал

Ответ: y(0) = 1; y(0.1) = -1.447; y(0.2) = 0.075; y(0.3) = 1.471; y(0.4) = 1.326; y(0.5) = 1.279.