Главная » Курсовые

Численные методы

Вопрос1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность.

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие факторы.
   • Неточность математического описания, в частности, неточность задания начальных данных.
   • Неточность численного метода решения задачи.

Данная причина возникает, например, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т. е. использования приближенного решения.
   • Конечная точность машинной арифметики.
Виды погрешностей

Все погрешности можно разделить на три вида:
   • неустранимая погрешность;
   • погрешность метода;
   • вычислительная погрешность.

Определение 1.1.1. Если а - точное значение некоторой величины и а известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а называют некоторую величину, про которую известно.
   Определение 1.1.2. Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину про которую известно.
   Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Вопрос 2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа.

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки xi = х0, х1, . . ., хn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x)  в этих точках

f(x0) = y0, f(x1) =  y1,  . . ., f(xn) = yn.

Требуется построить функцию F(х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

F(x0) = y0, F(x1) =  y1,  . . ., F(xn) = yn.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Рассмотрим задачу интерполяции:

Пусть дана сетка x0, x1, xn и даны значения функции в узлах этой сетки y0, y1, yn, далее строим полином

Где  коэффициент Лагранжа, а n- степень полинома

=1

=0, где

Далее образуем линейную комбинацию

Погрешность интерполяции функции полиномом Лагранжа оценивается формулой:     

 Где r(x) – некая функция, 

Введем некую вспомогательную функцию , где

   x –   некоторая фиксированная величина

s – переменная величина

По теореме Роля в двух точках (n+1)

Следовательно:

Интерполяционный многочлен Лагранжа удобен и употребляется в теоретических исследованиях, но с практической точки зрения его полезность вызывает сомнения, так как при построении полинома степени n+1 -- Pn+1(x) полностью теряется информация о предыдущем полиноме -- Pn(x) .

 

Вопрос 3. Интерполяционные формулы Ньютона

Пусть дана сетка x0,x1…xn, пусть известны значения в узлах сетки yi=f(xi), i=0,n. Вводим систему многочленов Pk(x) = k = 0,n

P0(x) = 1, pi(x)  = (x-x0),…,pk(x) = (x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)

Pk(x)  = 0 x=x0, x1,…,xk-1

Интерполяционный полином Ньютона

 QUOTE   , где  QUOTE    - многочлены, которые надо найти

 

Пусть дана сетка x0,x1…xn, пусть известны значения в узлах сетки yi=f(xi), i=0,n, шаг сетки h-xi+1-xi=const

Введем  -конечная разность 1-го порядка

 

Погрешность полинома Ньютона

 

Вопрос 4. Интерполирование сплайн-функциями

Сплайном n-го порядка называется функция, которая является полиномом m-ой степени и которая является непрерывной на любом подотрезке вместе со своими производными до m-1-го порядка. Чаще всего используются кубические сплаиды

Пусть функция y=f(x) задана таблично :

x0 = a, xn = b , x0 < x1 < x2 < .... < xn , yi = f(xi) i = 0,..., n.

Кубической сплайн-интерполяцией называется функция j (x) такая, что

j (xi) = f(xi) , i=0,1,...,n ,

j ' (xi-0) = j ' (xi+0) , j ' ' (xi-0) = j ' ' (xi+0) i=1,...,n-1 (1)

 

j ' ' (x0) =0, j ' ' (xn) =0,

 

и j (x) = ai + bi(x-xi) +ci(x-xi)2 +di(x-xi)3 , xi-1 ё x ё xi

 

Величины коэффициентов a,b,c,d, находятся из системы уравнений (1). Для нахождения значений этих коэффициентов удобно, с помощью последовательного исключения неизвестных, редуцировать систему (1) к системе трехточечных уравнений относительно коэффициентов сi , и решать ее далее с помощью метода прогонки

 

Вопрос 5. Метод наименьших квадратов

F(x)-начальная ф-ия, g(x) - интерполирующая функция

Н- невязка, w(x)>=0-весовая функция (при одном и том же значении несколько значении ф-ии)

Степень полинома (m) выбираем сами (до 4,5)

 

Вопрос 6. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.

Разобьем [a,b] на N равных подотрезков, длина каждого подотрезка: h=(a-b)/N. Заменим на отрезке [xi-1, xi] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени, то есть константой. Данный полином можно однозначно провести через одну точку. В качестве такой точки выберем точку (xi, f(xi)), где xi-1/2=(xi+xi-1)/2 - середина отрезка [xi-1, xi]. Тогда полином, очевидно, имеет вид: P0,i=f(xi). Теперь площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на отрезке [xi-1,xi], заменим на площадь прямоугольника с основанием [xi-1,xi] и высотой f(xi), то есть вместо  рассмотрим .

Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [a,b], получим квадратурную формулу (средних) прямоугольников:

 

Вопрос 7. Вычисление определенного интеграла по формулам трапеции.

Проведем через точки: (xi-1, f(xi-1)), (xi, f(xi)) полином первой степени (прямую линию). И заменим на отрезке [xi-1,xi] площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x), площадью обычной трапеции, образованной подграфиком функции y=P1,i(x), где в соответствии с формулой интерполяционного полинома в форме Лагранжа

.

Таким образом вместо интеграла  рассмотрим

.

Просуммировав такие площади по всему отрезку [a,b], получим квадратурную формулу трапеций:

 

 

Вопрос 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.

 

Заменим площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на частичном отрезке [xi-1,xi], площадью другой криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=P2,i(x), где

 

есть интерполяционный полином второй степени (парабола) в форме Лагранжа, построенный по трем точкам (xi-1,f(xi-1)), (xi,f(xi)), (xi,f(xi)). Таким образом вместо интеграла  рассмотрим величину

.

В результате суммирования величин по всему отрезку [a,b] получим квадратурную формулу Симпсона (формулу парабол):

Вопрос 9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.

 

 p(x) – весовая функция

 (1)

Далее заменим f(х) интерполяционный полином

Пусть на отрезке [a,b], узлы – xk и среди нет совпадающих, запишем полином Лагранжа

 

Подставим это в формулу (1)

 

Формула(1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, когда коэффициент с(к) вычисляется из формулы (2)

 

-погрешность

 

Точность до n-го порядка включительно


Вопрос 10. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла.

Выбираем шаг с которым мы вычисляем интеграл, далее выбираем метод решения, допустим от m-го порядка точности I=Ih+0(hm)

 

Где c-const не зависит от h

  Оценка интеграла, точное значение.

Для трапеции

Метод Симпсона

 погрешность вычисления

 

Вопрос 11. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.

Метод наивысшей алгебраической точности

Построим квадратурную формулу так, чтобы она была точна для многочлена как можно большей степени. Потребуем чтобы формула была точна для многочлена степени m, это эквивалентно тому, чтобы функция была точна для функции f(x0=xa,a =[0,m]

 

M+1=2n

M=2n-1

Если имеется m-узлов, то формула Гаусса точны для многочленов до (2n-1) порядка включительно

+ для одинакового количества узлов более точен.

- более сложная схема, так как выбираются не только степени, но и узлы

Используется для оценки интеграла с небольшим количеством узлов

 

Вопрос 12. Решение СЛАУ методом Гаусса.

 (1)

 А*х=В (2)

А- основная матрица системы, х- вектор столбец неизвестных, В- вектор столбец элементов

 

Приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду составляет суть прямого хода Гаусса

 

Выбираем max- элемент

 

Вопрос 13. Решение СЛАУ специального вида  методом прогонки.

Данный метод предназначен для решения систем специального вида (трехдиагональной) матрицы коэффициентов.

- ai xi-1 + ci xi - bi xi+1 = fi i=2, ... , n-1

x1 = k 1 x2 + n 1 (2)

xn = k 2 xn-1 + n 2

На первом этапе находятся коэффициенты

a i+1 = bi /(ci - ai a i) , b i+1 = ( b i ai + fi ) /(ci - ai a i ) i=2, ... , n-1 (прямой ход), a 2 = k 1 , b 2 = n 1,

а на втором этапе находится решение

 xi = a i+1 xi+1 + b i+1 , i = n-1, ... ,2,1

xn = (n 2 + b n ) / ( 1-a n k 2 ).

Для корректности метода прогонки достаточно, чтобы коэффициенты a i были по модулю меньше единицы, а выражения в знаменателях формул были отличны от нуля.

 

Вопрос 14. Решение СЛАУ методом Якоби

 

Пусть имеется система А*х=В и пусть эту систему привели к идентичному виду х=С*х+D, где С-матрица размерности как и А, D – вектор столбца

Произвольный вектор  строим итерационный процесс, как , где к – номер итерации.

 

Считаем до тех пор, пока

Достаточные условия сходимости:

Вопрос 15. Решение СЛАУ методом Зейделя

Является модификацией метода простой итерации

Пусть имеется система А*х=В и пусть эту систему привели к идентичному виду х=С*х+D, где С-матрица размерности как и А, D – вектор столбца

Произвольный вектор  строим итерационный процесс, как

 

Преимущество: экономия оперативной памяти, сходится быстрее

Вопрос 16. Метод деления отрезка пополам.

Простейшим методом нахождения корней уравнения f(x) = 0 является метод деления пополам или дихотомия. Предположим, мы нашли две точки и , такие что  и  имеют разные знаки, тогда между этими точками, если , находится хотя бы один корень функции   f . Поделим

отрезок  пополам и введем точку.  Либо,  либо.  Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, до достижения требуемой точности.

К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту, при этом от функции требуется только непрерывность. Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое.

Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо предвари­тельно найти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприме­ним для корней четной кратности. Он также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений

 

Вопрос 18. Метод Ньютона нахождения корней нелинейных уравнений.

 

Пусть f(x) имеет непрерывные f(x) и f’’(x), причем f(x) сохраняет свой знак.

Пусть известно начальное приближение x0. Заменим f(x) двумя первыми членами ряда Тейлора

 

Если известно приближенность xk-1, то в методе Ньютона

 

+ достаточно высокая степень сходимости

- необходимость достаточно точно указывать начальную приближенность

Вопрос 17. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

F(x)=0 (1)

Преобразуем уравнение (1) к виду:

 (2)

 , исходя из х0 строим итерационный процесс:

 (3)

Если последовательность (3) имеет предел - )

,  тогда   , то есть – корень уравнения (2)

Теорема

Пусть  непрерывна на отрезке [a,b] и пусть при заданном х0 из отрезка [a,b] последовательность (3)  тогда  корень уравнения  (2)

Доказательство

Достаточное условие сходимости:

Отображение  называется сжимающим на отрезке [a,b] с коэффициентом сжатия С, где , если для любых двух точек  выполняется условие Липшица

Теорема

Пусть  имеет решение  и пусть - сжимающая на отрезке [a,b], с коэффициентом сжатия С, тогда  является единственным решением на отрезке [a,b] уравнения . И существует сколь угодно число R>0, такое, что при выборе х0 из условия  все члены последовательности  будут определены, причем выполняется неравенство , где к=0,1,2,…..

В случаи наличия у производной  на отрезке [a,b], которая удовлетворяет условию  условие Липшица выполняется автоматически.

 

Вопрос 20. Построение разностной схемы для численного решения ОДУ

 

В рассмотренной области пространства вместо непрерывной  среды вводится ее разностный анализ.

Вместо функции непрерывного аргумента мы вводим функции дискретного аргумента .

 QUOTE   =y( QUOTE   ), I = 0, +-1, +-2…

Дифференциальное уравнение заменяем соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге дифференциальная задача заменяется (аппроксимируется) разностной схемой (системой разностных уравнений).

 QUOTE    в точке  QUOTE  

Метод  дающий формулу для вычисления  QUOTE    по к –предыдущим значениям у  ( QUOTE   ,  QUOTE   ) называется к-шаговым методом.

Если к=1, то это одношаговые методы Рунге-Кутта

Если к>1, то это многошаговый метод.

Вопрос 19. Численное решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Постановка исходной задачи.

 

F(x, u, u’, u’’,..,  QUOTE     ) = 0, где х – независимая переменная.

  QUOTE    =f(x,u,u’,u’’,.., QUOTE    ),  где   QUOTE     - старшая переменная 

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию, которая при подстановке в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

u=u(x)

Общее решение – это соотношение между функцией, независимой переменной и произвольными постоянными. Количество произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения.

Частное решение – получается из общего решения, если придать произвольным постоянным определенное значение.

Cx – некоторая произвольная постоянная.

y’=  QUOTE  

y=Cx

y’=C

  QUOTE    =  QUOTE    =C

Y(x=3)=12

y(3)=12

u’= QUOTE  

u’’= QUOTE   ’

 QUOTE     QUOTE

 

u’= QUOTE  

 

 QUOTE   ’= QUOTE  

 QUOTE   ’  =f(x,u,u’,u’’,.. QUOTE   ), 

 

Задача коши для ДУ 1-го порядка

u’=f(x,y)                   (1)

u( QUOTE   ) =  QUOTE  

Задача нахождения решения уравнения (1) удовлетворяет заданному начальному условию называется задачей Коши для ДУ 1-го порядка.

Предположим, что  f(x,y)  является достаточно гладкой (имеет столько производных, сколько нам нужно) рассмотрим следующую прямоугольную область:      

D ={0<x<X, |u-   QUOTE   |<U}

Если функция f(x,y)   в области D удовлетворяет условию Липшеца:

 |f(x, QUOTE   ) – f(x,  QUOTE   )| < k| QUOTE   |, k=const>0           (2)

то задача Коши имеет единственное решение.

Для уравнения (1) решением является функция u=u(x), предположим, что уравнение (1) имеет еще одно решение  u~(x)= u~, начальное уравнение: -   QUOTE   ) = --  QUOTE   .

µ(x)= u~(x)-u(x)

 QUOTE   = QUOTE    --  QUOTE  

µ(x) – разница этих решений

u~’- u’=f(x, u~) – f(x,u)

µ’(x)= QUOTE    * µ

µ’ = f’(x,u+© µ) µ

0<©<1

© - некоторое число

Умножаем обе части на µ

µ QUOTE    ‘   QUOTE  

1/2   QUOTE    = L(x, µ) QUOTE            (3)

Если произвводная < 0, то

   QUOTE    < 0, следовательно   QUOTE    (x)<=   QUOTE   ( QUOTE    )   

|u~ - u|<=|  QUOTE    -   QUOTE   |

Если L(x, µ) > 0 , то функция возрастающая.

Для исследования устойчивости используют модельное уравнение:

λ некоторая константа

0<x=X

 QUOTE   λ µ =0, если µ(0)= QUOTE  

Если решим, то

µ(0)= QUOTE  

λ >0,    тогда µ(0) убывающая  величина устойчивая величина

X->∞ , тогда µ(0) стремится к 0

λ <0, тогда µ(0) возрастающая величина

 

 

Вопрос 21. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.

Берем три соседних узла , шаг будет постоянен

И пусть знаем значения этих узлов

Выделяют следующие виды производных:

  Правая производная

   Левая производная

  Центральная производная

Все эти производные- конечно разностные соотношения

   Аппроксимация второй производной

Говорят, что разностный оператор  аппроксимирует дифференциальный оператор  с порядком  в точки , если для погрешности аппроксимации имеет место соотношение:

 

Вопрос 22. Численное решение ОДУ методом Эйлера.

+ очень простая формула

Оценка погрешности

Теперь подставим в наше уравнение

Исследуем на устойчивость

Условия устойчивости

 

Вопрос 27. Краевая задача для ОДУ. Постановка задачи.

 

Краевая задача ставится таким следующим образом, найти такую функцию, которая удовлетворяет исходному уравнению , и краевым условиям   , где a и b – границы выбранного отрезка.

Рассмотрим линейную задачу, то есть соотношение исходного уравнения и краевой задачи линейны.

 линейное уравнение 2-го порядка и краевые условия

Где p(x), q(x) и f(x)- непрерывные функции на отрезке  [a;b],  - некоторые коэффициенты.

Ограничения  

Если А=В=0, то получаем однородные краевые условия

 

Вопрос 23. Численное интегрирование ОДУ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.

Условия задания

 Элементы правой части разложим в ряд Тейлора

 

Попробуем выразить

Теперь подставим все это в уравнение невязки

Для аппроксимации

Чтобы схема(1) имела 2-ой порядок точности необходимо чтобы

 

1)

Подставим в схему (1)

 

Схема счет-пересчет

2)  Устойчива при

 Вопрос 24. Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения ОДУ. Семейство методов 3-го и 4-го порядка.

Одним из способов повышения порядка сходимости разностных схем для ОДУ является использование методов Рунге-Кутта.

 (1)

Пусть известно приближенное значение . явный m-этапный метод Рунге-Кутта состоит в следующем:

Задаются коэффициенты , а затем вычисляется значение функции:

После этого находим новые значения у

Выбор коэффициентов  производим так, чтобы разложенные функции Ох в ряд Тейлора и линейная комбинация(2) совпадали до возможно больших степеней n, при произвольной функции f(x,u) и произвольном шаге h. Кроме того, чтобы формула (2) аппроксимировала уравнению (1) необходимо чтобы

Наиболее удобной и употребительной является схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Она имеет следующий вид

 

На каждом шаге величины  рассчитываются заново.

Метод Рунге–Кутта часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

 

Вопрос 25. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения ОДУ

 

В общем случае k-шаговая разностная схема выглядит следующим образом:

 (1)

 - некоторые числовые коэффициенты

Схема(1) предназначена для нахождения  по предыдущим значениям  если , то получаем одношаговый метод. Если предположить что в (1), то получим явную схему.

А)  явная схема

Б) получаем неявную схему

Для каждого i, должны решать нелинейное уравнение.

Погрешность аппроксимирующей схемы (1):

 

Коэффициенты  находятся из соображения аппроксимации и устойчивости

 

Проинтегрируем  на отрезке. )

 

Правую часть можно заменить какой-либо квадратурной формулой

 

Вопрос 26. Метод Адамса решения задачи Коши для ОДУ.

 

Тогда получим следующую схему

 

Если в (1) положить что  получим следующую схему:

 метод Рунге-Кутта 1порядка

Если в (1) положить что  получим следующую схему:

 одношаговая неявная схема Адамса

+ неявные схемы более устойчивые, можем не заботится о шаге

Если в (1) положить что  получим следующую схему:

 неявная симметричная схема Адамса

Если в (1) положить что  получим следующую схему:

 Явная двухшаговая  схема Адамса

Модельное уравнение;

 

Решение ищут в следующем виде:

 , подставим

при любых M D>0  при условии

 

Условия устойчивости: некоторый параметр

Вопрос 28. Метод конечных разностей для ДУ 2-го порядка.

Возьмем однородную сетку  , где , заменяем p(x), q(x) и f(x) сеточными функциями .Производные заменяем конечно-разностными соотношениями .

Тогда после подстановки, линейное уравнение 2-го порядка и краевые условия будут иметь вид:

 

Где mi= -2 + pih, zi=1 - pih + qih2

Более точное решение при замене центральными разностями

 

 Где li=2 + hpi, mi= -4 + 2h2qi, zi= 2 - pih

 

Вопрос 29. Аналитические методы решения задачи Коши для ОДУ.

 

Начальные условия  (2)

Задача Коши это уравнения (1) и (2)

  1. Метод последовательного дифференцирования

Предположим, что искомое частное решение разложимо в ряд Тейлора по степеням (вблизи точки ).

Решение будет выглядеть

n-ую производную находим  и подставляем в (1)

  1. Метод неопределенных коэффициентов

Применим для линейных дифференциальных уравнений на примере ДУ 2-го порядка

Предположим, что решение этого уравнения коэффициент  , разложимы в степенной ряд:

  , где - коэффициенты которые нужно найти

Подставляем в наше уравнение

Два многочлена равны только в том случаи, если равны коэффициенты при одинаковых степенях

Примечания

1. Заметим также, что неоднородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда приведенная однородная система тривиально совместна, т.е. когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных (r=n).

2. Преимущества метода:
- простой метод;
- независимость вычислений определителей, следовательно, процесс вычисления определителей может быть распараллелен.
Недостатки метода:
- высокая ресурсоемкость вычислений определителей;
- чувствительность к ошибкам округления.

3. Точные - находятся за конечное число действий и точно, за исключением округления
Иттерационные - пока значение м/у предыдущ. и последущ. не больше чем заданная точность.

4. В классическом методе Гаусса производится пошаговое исключение неизвестных. Однако может случиться так, что на главной диагонали, после ряда преобразований, будет стоять ноль. Если бы мы решали СЛАУ вручную, то достаточно было бы просто переставить столбцы местами так, что бы ноль «ушел» с главной диагонали.

Итак, под главным элементом понимается максимальный по модулю элемент текущей строки в прямом проходе Гаусса. Под прямым проходом я подразумеваю «обнуление» нижней треугольной матрицы. Соответственно под обратным, «обнуление» верхней матрицы.

Алгоритм прямого прохода:
- Выбрать максимальный элемент строки стоящий справа от текущего диагонального элемента, запомнить столбец, в котором он стоит;
- Если максимальный элемент равен нулю, то СЛАУ не имеет решения, т.к. в системе присутствую линейно зависимые уравнения;
- Поменять столбец найденный в пункте 1, со столбцом, в котором располагается текущий диагональный элемент;
- Разделить все элементы строки на текущий диагональный элемент (он изменился, т.к. столбцы были переставлены);
- Вычитаем текущую строку из ниже лежащих строк матрицы, умножая ее на коэффициент при соответствующем неизвестном.

5. Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор.

6. Сходимость - когда разница м/у пред. и пос. не больше чем заданная точность.

7. Метод Зейделя - модификация метода простой иттерации, имеет лучшую сходимость, удобен для программирования. Недостатками являются сложный контроль условий сходимости и выбор начального приближения.


1. Процесс отыскания корней делиться на два этапа: Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень. Уточнение корня с заданной точностью.
Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами. Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0 Выходом из итерационного процесса являются условия: ¦f(xn)¦?? ¦xn-xn-1¦?? рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных. 2 п. Метод половинного деления. Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a.

2. Берется отрезок на графике, в котором функция меняет свой знак. Этот отрезок делится пополам, и берется та часть, на которой знак меняется. Эта процедура повторяется до достижения требуемой точности.

3. Метод простой итерации применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.


5. Метод деления отрезка пополам
Достоинства:
- Простота
- Быстрое достижение результата
Недостатки
- Необходимо заранее знать отрезок, на котором функция меняет знак

Метод простой итерации
Достоинства
- Удобен в использовании, т.к. легко программируется на ЭВМ
Недостатки
- Невысокая скорость сходимости

Метод Ньютона (касательный метод)
Достоинства
- Высокий порядок сходимости
Недостатки
- Большая вычислительная трудность

 

также в рубрике Курсовые работы:

cialis ohne rezept sicher kaufen tadalafil cialis generika
cialis ohne rezept sicher kaufen tadalafil cialis generika